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定松先生 ブログ

2011/07/04 Updated

数学的帰納法

 数学の重要な証明法の中に『数学的帰納法』があります。この証明法は、使用されている文字が整数のとき有効で、主として、他によい証明法がないとき使われることが多いのです。
 私が学生のとき、教師に「数学的帰納法はどんな時に使用するのですか?」と聞いたら、「他の方法でうまくいかなかったら使うんだよ!」と教えられました。でもここで大きな疑問があります。他の方法でうまくいかないとき、数学的帰納法でもうまくいかない、なんてことはないのでしょうか?数学的帰納法でうまくいくという保証はあるのでしょうか?そう思って私なりに研究してみました。そうしたら、数学的帰納法では証明できない問題もたくさん存在することがわかりました。つまり、先ほどの教師の説明はデタラメだったのです。
 他の方法でうまくいかないから数学的帰納法でやるのではありません。数学的帰納法を使ってうまくいくか否かは最初からわかっているのです。使ってある文字が整数でも、数学的帰納法で証明できない問題も大量にあるのです。これがわかっていないと、使っても解けるはずのない問題に数学的帰納法を使って証明しようとしてしまいます。これが本番の試験ですと、無駄な時間が過ぎ去ることになります。
 7月1日に行った東大理型学選抜試験の【3】はそれを正しく理解しているか否かを問う問題でした。理靴任覆ても東大を目指しているのなら、このくらいは答えられないといけません。今回の問題は夏期講習会の東大理系数学(東大理型学ではありません)に入れましたので、理啓験生でなくても東大理系数学で解説しますので、楽しみにしてください。
 7月4日   定松 勝幸

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